Ungkapan Boolean
Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Booleanpengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.
KONSEP POKOK ALJABAR BOOLEAN
Variabel – variabel yang dipakai dalam persamaan aljabar boolean memiliki karakteristikVariabel tersebut hanya dapat mengambil satu harga dari dua harga yang mungkin diambil. Kedua harga ini dapat dipresentasikan dengan simbol “ 0 ” dan “ 1 ”.
Penambahan Logis Perkalian Logis Komplementasi atau Negasi
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 = 1
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 = 0
1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN
a. Hukum Komutatif
- A + B = B + A
- A . B = B . A
b. Hukum Asosiatif
- (A + B) + C = A + (B + C)
- (A . B) . C = A . (B . C)
c. Hukum Distributif
- A . (B + C) = A . B + A . C
- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )
d. Hukum Identitas
- A + A = A
- A . A = A
e. Hukum Negasi
- (A) = A
- A = A
f. Hukum Redundan
- A + A . B = A
- A . (A + B) = A
g. Indentitas
- 0 + A = A
- 1 . A = A
- 1 + A = 1
- 0 . A = 0
- A + A . B = A + B
h. Teorema De Morgan
- (A + B) = A . B
- (A . B) = A + B
Summary
0 + X = X
1 + X = 1
X + X = X
X + X = 1
0 . X = 0
1 . X = X
X . X = X
X . X = 0
X = X
X + Y = Y + X
X . Y = Y . X
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X . (Y . Z) = (X . Y) Z
X . (Y + Z) = XY + XZ
X + XZ = X
X (X + Y) = X
(X + Y) ( X + Z) = X + YZ
X + XY = X + Y
XY + YZ + YZ = XY + Z
Perbedaan antara aljabar Boolean dan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil :
- Hukum distributif + dan . Seperti a+(b.c) = (a+b) . (a+c) benar untuk aljabar Boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
- Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan, sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.
- Sifat no 2 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
- Aljabar biasa memperlakukan bilangan riil dengan himpunan yang tidak berhingga. Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua nilai yaitu nilai 0 dan 1.
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem aljabar.
elemen himpunan peubah
Aljabar biasa bil riil a, b, c
Aljabar Boolean bil riil x, y, z
Suatu aljabar Boolean harus memenuhi 3 syarat :
- Elemen himpunan B
- Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
- Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean dua-nilai
Aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan dua buah elemen, B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator + dan Prinsip Dualitas.
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
× dengan +
+ dengan .
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
(i) (a × 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Contoh. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 · b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn -> B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut gandan (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda 3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Contoh. Diketahui fungsi Boolean f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:
x y z f(x, y, z) = xy z’ 0 0
0
0
1
1
1
1 0 0
1
1
0
0
1
1 0 1
0
1
0
1
0
1 0 0
0
0
0
0
1
0
Penambahan Logis Perkalian Logis Komplementasi atau Negasi
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 = 1
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 = 0
1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN
a. Hukum Komutatif
- A + B = B + A
- A . B = B . A
b. Hukum Asosiatif
- (A + B) + C = A + (B + C)
- (A . B) . C = A . (B . C)
c. Hukum Distributif
- A . (B + C) = A . B + A . C
- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )
d. Hukum Identitas
- A + A = A
- A . A = A
e. Hukum Negasi
- (A) = A
- A = A
f. Hukum Redundan
- A + A . B = A
- A . (A + B) = A
g. Indentitas
- 0 + A = A
- 1 . A = A
- 1 + A = 1
- 0 . A = 0
- A + A . B = A + B
h. Teorema De Morgan
- (A + B) = A . B
- (A . B) = A + B
0 + X = X
1 + X = 1
X + X = X
X + X = 1
0 . X = 0
1 . X = X
X . X = X
X . X = 0
X = X
X + Y = Y + X
X . Y = Y . X
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X . (Y . Z) = (X . Y) Z
X . (Y + Z) = XY + XZ
X + XZ = X
X (X + Y) = X
(X + Y) ( X + Z) = X + YZ
X + XY = X + Y
XY + YZ + YZ = XY + Z
Perbedaan antara aljabar Boolean dan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil :
- Hukum distributif + dan . Seperti a+(b.c) = (a+b) . (a+c) benar untuk aljabar Boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
- Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan, sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.
- Sifat no 2 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
- Aljabar biasa memperlakukan bilangan riil dengan himpunan yang tidak berhingga. Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua nilai yaitu nilai 0 dan 1.
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem aljabar.
elemen himpunan peubah
Aljabar biasa bil riil a, b, c
Aljabar Boolean bil riil x, y, z
Suatu aljabar Boolean harus memenuhi 3 syarat :
- Elemen himpunan B
- Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
- Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean dua-nilai
Aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan dua buah elemen, B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator + dan Prinsip Dualitas.
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
× dengan +
+ dengan .
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
(i) (a × 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Contoh. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 · b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn -> B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut gandan (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda 3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Contoh. Diketahui fungsi Boolean f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:
| x | y | z | f(x, y, z) = xy z’ |
| 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 1 1 0 0 1 1 | 0 1 0 1 0 1 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1 0 |
0 komentar:
Post a Comment